Soal dan Pembahasan – Bangun Ruang (Pra-Olimpiade)

Diketahui $V = 2.744~\text{cm}^3.$ Misalkan $s$ adalah panjang rusuk kubus. Akan dicari nilai dari $L = 6s^2$.
$$\begin{aligned} V & = 2.744 \\ s^3 & = 2.744 \\ s & = \sqrt[3]{2.744} = 14 \\ s^2 & = 14^2 = 196 \\ 6s^2 & = 6 \cdot 196 = 1.176~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas permukaan kubus tersebut adalah $\boxed{1.176~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)

Misalkan panjang, lebar, dan tingginya dinyatakan oleh $p, \ell$, dan $t$ sehingga $V = p \ell t.$
Diketahui bahwa $pt= x$, $p \ell = y$, dan $\ell t = z$. Dengan menguadratkan volume, kita peroleh
$$\begin{aligned} V^2 & = (p \ell t)^2 \\ V^2 & = (pt)(p \ell)(\ell t) \\ V^2 & = xyz \\ V & = \sqrt{xyz} \end{aligned}$$Jadi, volume balok tersebut adalah $\boxed{\sqrt{xyz}}.$
(Jawaban E)

Diketahui $p : \ell : t = 1 : 3 : 5$.
Dapat kita tulis $p = x$, $\ell = 3x$, dan $t = 5x$ untuk suatu bilangan asli $x$. Karena $L = 4.600~\text{cm}^2$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} 2(p \ell + pt + \ell t) & = 4.600 \\ x(3x) + x(5x) + 3x(5x) & = 2.300 \\ 3x^2 + 5x^2 + 15x^2 & = 2.300 \\ 23x^2 & = 2.300 \\ x^2 & = 100 \\ \Rightarrow x & = 10 \end{aligned}$$Ingat bahwa $x$ adalah bilangan asli sehingga $x \neq -10$.
Jadi, panjang, lebar, dan tinggi balok tersebut berturut-turut adalah $p = 10~\text{cm}$, $\ell = 30~\text{cm}$, dan $t = 50~\text{cm}$.
Selanjutnya, akan dicari volume balok.
$$\begin{aligned} V & = p \ell t \\ & = 10(30)(50) \\ & = 15.000~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume balok tersebut adalah $\boxed{15.000~\text{cm}^3}.$
(Jawaban D)

Diketahui $r + t = 37~\text{m}$ dan $L_p = 1.628~\text{m}^2.$
Pertama, akan dicari panjang jari-jari alas tabung.
$$\begin{aligned} L_p & = 1.628 \\ 2 \pi r(\color{blue}{r + t}) & = 1.628 \\ 2 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot r(37) & = 1.628 \\ r & = \dfrac{1.628 \cdot 7}{2 \cdot 37 \cdot 22} \\ r & = 7~\text{m} \end{aligned}$$Karena $r + t = 37~\text{m}$ dan $r = 7~\text{m},$ maka $t = 30~\text{m}$. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} V & = \pi r^2 t \\ & = \dfrac{22}{7} \cdot 7^2 \cdot 30 \\ & = 4.620~\text{m}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume tabung tersebut adalah $\boxed{4.620~\text{cm}^3}.$
(Jawaban C)

Diketahui $r = 80~\text{cm}$ dan $t = 20~\text{cm}.$
Perbandingan (rasio) luas permukaan dan luas selimut tabung dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_p : L_s & = \cancel{2\pi r}(r + t) : \cancel{2\pi r} t \\ & = (r + t) : t \\ & = (80 + 20) : 20 \\ & = 100 : 20 \\ & = 5 : 1 \end{aligned}$$Jadi, rasio luas permukaan dan luas selimut tabung tersebut adalah $\boxed{5 : 1}.$
(Jawaban C)

Misalkan tabung pertama memiliki panjang jari-jari, tinggi, dan volume berturut-turut $r, t$, dan $V$, sedangkan tabung kedua memiliki panjang jari-jari, tinggi, dan volume berturut-turut $r’, t’$, dan $V’$ sehingga diperoleh hubungan
$$\begin{aligned} V’ & = V \\ t : t’ = 1 : 2 \Rightarrow t’ & = 2t \end{aligned}$$Karena itu, kita dapatkan
$$\begin{aligned} \pi(r’)^2t’ & = \pi r^2t \\  (r’)^2 (2t) & = r^2t \\ 2(r’)^2 & = r^2 \\ 2 & = \left(\dfrac{r}{r’}\right)^2 \\ \sqrt2 & = \dfrac{r}{r’} \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari kedua tabung itu adalah $\boxed{\sqrt2 : 1}.$
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{aligned} L_s : L_p & = 1 : 2 \\ L_p & = 616~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dari perbandingan tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} L_s & = \dfrac12 \cdot 616 \\ & = 308~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Berikutnya, akan dicari panjang jari-jari alas tabung.
$$\begin{aligned} L_p & = 616 \\ 2\pi r^2 + L_s & = 616 \\ 2 \cdot \dfrac{22}{7}r^2 + 308 & = 616 \\ \dfrac{44}{7}r^2 & = 308 \\ r^2 & = 49 \\ r & = 7~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} L_s & = 308 \\ 2\pi r t & = 308 \\ t & = \dfrac{308}{2\pi r}~\text{cm} \end{aligned}$$Selanjutnya, volume tabung $V$ dihitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V & = \pi r^2 t \\ & = \pi r^2 \cdot \dfrac{308}{2\pi r} \\ & = 154r \\ & = 154(7) = 1.078~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume tabung tersebut adalah $\boxed{1.078~\text{cm}^3}.$
(Jawaban B)

Anggap $r, t$, dan $V$ berturut-turut adalah panjang jari-jari alas, tinggi, dan volume kerucut sehingga $V = \dfrac13\pi r^2t$. Misalkan $t’$ adalah tinggi kerucut setelah dikalikan dua, maka $t’ = 2t$ sehingga volume setelahnya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} V’ & = \dfrac13\pi r^3 t’ \\ & = \dfrac13\pi r^3 (2t) \\ & = 2\left(\dfrac13\pi r^3 t’\right) \\ & = 2V \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa volumenya sama dengan 2 kali volume awal. Dengan kata lain, persentase pertambahan volumenya sebesar $\boxed{100\%}.$
(Jawaban C)

Anggap $r_1, t_1$, dan $V_1$ berturut-turut adalah panjang jari-jari alas, tinggi, dan volume kerucut pertama sehingga $V_1 = \dfrac13\pi r_1^2t_1$, sedangkan $r_2, t_2$, dan $V_2$ berturut-turut adalah panjang jari-jari alas, tinggi, dan volume kerucut kedua sehingga $V_2 = \dfrac13\pi r_2^2t_2$. Dengan demikian, dapat kita tuliskan perbandingan berikut.
$$\begin{aligned} V_1 : V_2 & = \color{red}{\dfrac13\pi} r_1^2t_1 : \color{red}{\dfrac13\pi} r_2^2t_2 \\ V_1 : V_2 & = r_1^2t_1 : r_2^2t_2 \\ 1 : 4 & = (4)^2t_1 : (5)^2t_2 \\ 1 : 4 & = 16t_1 : 25t_2 \\ \dfrac14 & = \dfrac{16t_1}{25t_2} \\ \dfrac{25}{64} & = \dfrac{t_1}{t_2} \\ 25 : 64 & = t_1 : t_2 \end{aligned}$$Jadi, rasio tinggi kedua kerucut tersebut adalah $\boxed{25 : 64}.$
(Jawaban D)

Diketahui $t_1 : t_2 = 1 : 4$ dan $r_1 : r_2 = 4 : 1$. Perbandingan (rasio) kedua kerucut itu dinyatakan oleh $V_1 : V_2$, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V_1 : V_2 & = \color{red}{\dfrac13\pi} r_1^2 t_1 : \color{red}{\dfrac13\pi} r_2^2 t_2 \\ & = r_1^2 t_1 : r_2^2 t_2 \\ & = (4)^2(1) : (1)^2(4) \\ & = 4 : 1 \end{aligned}$$Jadi, rasio kedua volume kerucut itu adalah $\boxed{4 : 1}.$
(Jawaban C)

Diketahui:
$$\begin{aligned} r_{\text{tabung}} & = 3~\text{cm} \\ t_{\text{tabung}} & = 5~\text{cm} \\ r_{\text{kerucut}} & = 1~\text{mm} = 0,\!1~\text{cm} \\ t_{\text{kerucut}} & = 1~\text{cm} \end{aligned}$$Banyaknya kerucut yang terbentuk dari hasil peleburan tabung tersebut sama dengan volume tabung dibagi dengan volume kerucut.
$$\begin{aligned} n & = \dfrac{V_{\text{tabung}}}{V_{\text{kerucut}}} \\ & = \dfrac{\color{red}{\pi} r_{\text{tabung}}^2 t_{\text{tabung}}}{\frac13\color{red}{\pi} r_{\text{kerucut}}^2 t_{\text{kerucut}}} \\ & = \dfrac{3^2 \cdot 5}{\frac13 \cdot 0,\!1^2 \cdot 1} \\ & = \dfrac{45}{\frac{1}{300}} = 45 \cdot 300 = 13.500 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{n = 13.500}.$
(Jawaban D)

Volume bola terbesar tercapai ketika panjang diameter bolanya sama dengan panjang rusuk kubus sehingga bola tepat bersinggungan dengan seluruh sisi kubus. Jika $s$ dan $r$ berturut-turut adalah panjang rusuk kubus dan panjang jari-jari bola, maka diperoleh hubungan $s = d = 2r$. Dengan demikian, perbandingan volumenya dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V_{\text{bola}} : V_{\text{kubus}} & = \dfrac43\pi r^3 : s^3 \\ & = \dfrac43\pi r^3 : (2r)^3 \\ & = \dfrac43\pi \color{red}{r^3} : 8\color{red}{r^3} \\ & = \dfrac43\pi : 8 \\ & = \pi : 6 && (\text{Dikali 3/4}) \end{aligned}$$Jadi, perbandingan volume bola terbesar terhadap volume kubus adalah $\boxed{\pi : 6}.$
(Jawaban C)

Kubus terbesar itu memiliki panjang diagonal ruang yang sama dengan panjang diameter bola, seperti yang tampak pada gambar.
Karena bolanya berjari-jari $r = 5\sqrt3~\text{cm}$, maka $d = 2r = 10\sqrt3~\text{cm}.$
Panjang diagonal ruang kubus yang panjang rusuknya $a$ adalah $DR = a\sqrt3~\text{cm}$ sehingga
$$\begin{aligned} DR & = d \\ a\sqrt3 & = 10\sqrt3 \\ a & = 10~\text{cm} \end{aligned}$$Volume kubus tersebut adalah $\boxed{V = a^3 = (10)^3 = 1.000~\text{cm}^3}.$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar bola, setengah bola, dan seperempat bola berikut.

Luas permukaan bola padat (pejal) utuh adalah $$L_{\oplus} = 4\pi r^2.$$Luas permukaan setengah bola padat adalah penjumlahan dari luas kulit ditambah dengan luas lingkaran dalamannya (ditandai dengan warna abu-abu pada gambar), yaitu $$L_{\frac12 \oplus} = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2.$$Luas permukaan seperempat bola padat adalah penjumlahan dari luas kulit ditambah 2 kali luas setengah lingkaran dalamannya, yaitu $$L_{\frac14 \oplus} = \pi r^2 + \dfrac12 \pi r^2 + \dfrac12 \pi r^2 = 2\pi r^2.$$Jadi, perbandingan luas permukaan bola padat utuh, setengah bola padat, dan seperempat bola padat itu adalah
$$\begin{aligned} L_{\oplus} : L_{\frac12 \oplus} : L_{\frac14 \oplus} & = 4\color{red}{\pi r^2} : 3\color{red}{\pi r^2} : 2\color{red}{\pi r^2} \\ & = 4 : 3 : 2. \end{aligned}$$(Jawaban B)

Mula-mula panjang rusuk kubus adalah $s$, kemudian bertambah menjadi $s’ = 150\%s$.
Jawaban a)
Mula-mula luas permukaan kubus adalah $L = 6s$. Luas permukaan kubus setelah pemanjangan panjang rusuk dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L’ & = 6(s’)^2 \\ & = 6(150\%s)^2 \\ & = 225\%(6s^2) \\ & = 225\%L \end{aligned}$$Jadi, persentase pertambahan luas permukaan kubus adalah $\boxed{125\%}.$
Jawaban b)
Mula-mula volume kubus adalah $V = s^3$. Volume setelah pemanjangan panjang rusuk dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} V’ & = (s’)^3 \\ & = (150\%s)^3 \\ & = 337,\!5\%s^3 \end{aligned}$$Jadi, persentase pertambahan volume kubus adalah $\boxed{237,\!5\%}.$

Pada balok berukuran $a \times b \times c$, volume dan luas permukaannya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} V & = abc \\ S & = 2(ab + ac + bc) \end{aligned}$$Akan dibuktikan bahwa $\dfrac{1}{V} = \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$ dimulai dari ruas kanan.
$$\begin{aligned} \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) & = \dfrac{2}{2(ab + ac + bc)}\left(\dfrac{bc}{abc} + \dfrac{ac}{abc} + \dfrac{ab}{abc}\right) \\ & = \dfrac{1}{\cancel{ab + ac + bc}} \cdot \dfrac{\cancel{ab + ac + bc}}{abc} \\ & = \dfrac{1}{abc} \\ & = \dfrac{1}{V} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\dfrac{1}{V} = \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)}.$

Jawaban a)
Luas $HKFGI$ sama dengan luas persegi panjang $HFEI$ dikurangi luas seperempat lingkaran $FEG$.
$$\begin{aligned} L_{HKFGI} & = L_{HFEI}-L_{FEG} \\ & = (HF \cdot FE)-\left(\dfrac14 \cdot \pi \cdot EF^2\right) \\ & = (6,\!5 \cdot 1,\!5)-\left(\dfrac14 \cdot 3.14 \cdot 1,\!5^2\right) \\ & = 9,\!75-1,\!76625 \\ & = 7,\!98375~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas $HKFGI$ adalah $\boxed{7,\!98375~\text{cm}^2}.$
Jawaban b)
Volume pelat besi sama dengan volume balok $HFDJ.IECA$ dikurangi volume seperempat tabung $FEG.DCB$.
$$\begin{aligned} V_{\text{pelat besi}} & = V_{HFDJ.IECA}-V_{FEG.DCB} \\ & = (HF \cdot HI \cdot AI)-\left(\dfrac14 \cdot \pi \cdot EF^2 \cdot EC\right) \\ & = (6,\!5 \cdot 1,\!5 \cdot 8)-\left(\dfrac14 \cdot 3,\!14 \cdot 1,\!5^2 \cdot 8\right) \\ & = 78-14,\!13 \\ & = 63,\!87~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume pelat besi adalah $\boxed{63,\!87~\text{cm}^3}.$
Jawaban c)
Luas selimut $FDBG$ sama dengan luas persegi panjang $FDCE$ ditambah luas persegi panjang $ECBG$.
$$\begin{aligned} L_{FDBG} & = L_{FDCE} + L_{ECBG} \\ & = (FD \cdot DC) + (GE \cdot EC) \\ & = (8 \cdot 1,\!5) + (1,\!5 \cdot 8) \\ & = 12 + 12 = 24~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas selimut $FDBG$ adalah $\boxed{24~\text{cm}^2}.$
Jawaban d)
Karena volume pelat besi adalah $V = 63,\!87~\text{cm}^3$ dan diketahui bahwa $\rho = 9.040~\text{kg/m}^3 = 9,\!04~\text{g/cm}^3$ maka massa pelat besi dapat kita tentukan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \rho & = \dfrac{m}{V} \\ m & = \rho \cdot V \\ & = 9,\!04 \cdot 63,\!87 \\ & = 577,\!3848~\text{g} \end{aligned}$$Jadi, massa pelat besi adalah $\boxed{577,\!3848~\text{g}}.$

Jawaban a)
Buat titik $O$, sedemikian sehingga $AO \perp OD$ dan terbentuklah segitiga siku-siku $BOC$ dengan
$$\begin{aligned} BO & = AO-AB = 120-90 = 30~\text{cm} \\ OC & = OD-CD = 220-180 = 40~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus Phytagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} BC & = \sqrt{BO^2 + OC^2} \\ & = \sqrt{30^2 + 40^2} \\ & = 50~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, paniang $\boxed{BC = 50~\text{cm}}.$
Jawaban b)
Luas segilima $ABCDE$ sama dengan luas persegi panjang $AEDO$ dikurangi luas segitiga siku-siku $BOC$.
$$\begin{aligned} L_{ABCDE} & = L_{AEDO}-L_{\triangle BOC} \\ & = (AE \cdot ED)-\left(\dfrac12 \cdot BO \cdot OC\right) \\ & = (220 \cdot 120)-\left(\dfrac12 \cdot 30 \cdot 40\right) \\ & = 26.400-600 \\ & = 25.800~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas $ABCDE$ adalah $\boxed{25.800~\text{cm}^2}.$
Jawaban c)
Volume benda tersebut sama dengan volume balok utuh dikurangi volume prisma segitiga siku-siku hasil potongan.
$$\begin{aligned} V_{\text{benda}} & = V_{\text{balok}}-V_{\text{prisma}} \\ & = (ED \cdot AE \cdot AP)-\left(L_{\triangle BOC} \cdot BQ\right) \\ & = (120 \cdot 220 \cdot 200)-\left(600 \cdot 200\right) \\ & = 5.160.000~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume tempat pembuangan rokok tersebut adalah $\boxed{5.160.000~\text{cm}^3}.$

Misalkan $r$ dan $t$ adalah panjang jari-jari dan tinggi tabung mula-mula sehingga $V = \pi r^2 t$. Misalkan pula $r’$ dan $t’$ adalah paniang jari-jari dan tinggi tabung setelah mengalami perubahan sehingga
$$\begin{aligned} r’ & = 150\%r = \dfrac32r \\ t’ & = \dfrac49t \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} V’ & = \pi (r’)^2 t’ \\ & = \pi \left(\dfrac32r\right)^2 \cdot \dfrac49t \\ & = \pi \cdot \dfrac94r^2 \cdot \dfrac49t \\ & = \pi r^2 t \\ & = V \end{aligned}$$Jadi, dapat disimpulkan bahwa volume tabung sekarang sama dengan volume tabung mula-mula (tetap/tidak berubah).

Diketahui keliling alas = volume tabung = $n$ sehingga kita tulis
$$\begin{aligned} 2\pi r & = \pi r^2 t = n && (\cdots 1) \\ \Rightarrow 2 & = rt && (\cdots 2)\end{aligned}$$Dari persamaan $2\pi r = n$, kita peroleh $r = \dfrac{n}{2\pi}$. Dari persamaan $(2)$, didapat $t = \dfrac{2}{r} = 2 \cdot \dfrac{2\pi}{n} = \dfrac{4\pi}{n}.$
Selanjutnya, kita akan peroleh luas permukaan tabung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_p & = 2\pi r(r + t) \\ & = n\left(\dfrac{n}{2\pi} + \dfrac{4\pi}{n}\right) \\ & = \dfrac{n^2}{2\pi} + 4\pi \end{aligned}$$Jadi, luas permukaaan tabung tersebut bila dinyatakan dalam $n$ adalah $\boxed{L_p = \dfrac{n^2}{2\pi} + 4\pi}.$

Diketahui/dimisalkan bahwa
$$\begin{aligned} t & = \text{tinggi kerucut} \\ r & = \text{panjang jari-jari alas kerucut} \\ s’ & = \text{panjang garis pelukis} \\ s & = \text{luas selimut kerucut} = \pi r s’ \\ v & = \text{volume kerucut} = \dfrac13\pi r^2 t \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh $(s’)^2 = r^2+t^2$. Oleh karena itu, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} 3\pi vt^3-s^2t^2 + 9v^2 & = 3\pi\left(\dfrac13\pi r^2t\right)t^3-(\pi r s’)^2t^2 + 9\left(\dfrac13\pi r^2t\right)^2 \\ & = \pi^2r^2t^4-\pi^2r^2(r^2+t^2)t^2 + 9 \cdot \dfrac19\pi^2 r^4t^2 \\ & = \color{red}{\pi^2r^2t^4}\color{blue}{-\pi^2r^4t^2}\color{red}{-\pi^2r^2t^4}+ \color{blue}{\pi^2 r^4t^2} \\ & = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{3\pi vt^3-s^2t^2 + 9v^2 = 0}$

Tampak pada gambar ada $3$ buah kerucut: besar, sedang, dan kecil. Misalkan tinggi kerucut besar, sedang, dan kecil berturut-turut adalah $t_1, t_2$, dan $t_3$ sehingga $t_1 = 42~\text{cm}$, $t_2 = 28~\text{cm}$, dan $t_3 = 14~\text{cm}.$
Selanjutnya, akan dicari panjang jari-jari kerucut sedang dan kecil dengan menggunakan konsep kesebangunan.
Mencari nilai $r_2$:
$$\begin{aligned} \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{t_1}{t_2} \Rightarrow \dfrac{18}{r_2} & = \dfrac{42}{28} \\ \dfrac{18}{r_2} & = \dfrac{3}{2} \\ r_2 & = 12~\text{cm} \end{aligned}$$Mencari nilai $r_3$:
$$\begin{aligned} \dfrac{r_1}{r_3} = \dfrac{t_1}{t_3} \Rightarrow \dfrac{18}{r_3} & = \dfrac{42}{14} \\ \dfrac{18}{r_3} & = 3 \\ r_3 & = 6~\text{cm} \end{aligned}$$Perbandingan volume kerucut besar, sedang, dan kecil dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V_{\text{besar}} : V_{\text{sedang}} : V_{\text{kecil}} & = \color{blue}{\dfrac13} \pi r_1^2 t_1 : \color{blue}{\dfrac13} \pi r_2^2 t_2 : \color{blue}{\dfrac13} \pi r_3^2 t_3 \\ & = r_1^2 t_1 : r_2^2 t_2 : r_3^2 t_3 \\ & = (18)^2(42) : \left(12\right)^2 (28) : \left(6\right)^2 (14) \\ & = 9(3) : 4(2) : 1(1) \\ & = 27 : 8 : 1 \end{aligned}$$Jawaban b)
Misalkan panjang garis pelukis kerucut besar, sedang, dan kecil berturut-turut adalah $s_1, s_2$, dan $s_3$ sehingga
$$\begin{aligned} x & = s_2-s_3 \\ & = \sqrt{r_2^2 + t_2^2}-\sqrt{r_3^2+t_3^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 28^2}-\sqrt{6^2 + 14^2} \\ & = 4\sqrt{58}-2\sqrt{58} \\ & = 2\sqrt{58} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} y & = s_1-s_2 \\ & = \sqrt{r_1^2 + t_1^2}-\sqrt{r_2^2+t_2^2} \\ & = \sqrt{18^2 + 42^2}-\sqrt{12^2 + 28^2} \\ & = 6\sqrt{58}-4\sqrt{58} \\ & = 2\sqrt{58} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x = y = 2\sqrt{58}}.$

Dari gambar, tampak bahwa panjang jari-jari alas tabung, alas kerucut, dan setengah bola itu sama, yaitu $r$. Tinggi tabung dan tinggi kerucut juga sama dengan panjang jari-jari bola, yaitu $t = r$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} & V_{\text{tabung}} : V_{\text{1/2 bola}} : V_{\text{kerucut}} \\ & = \pi r^2 t : \dfrac12 \cdot \dfrac43\pi r^3 : \dfrac13 \pi r^2 t \\ & = \pi r^2 (r) : \dfrac12 \cdot \dfrac43\pi r^3 : \dfrac13 \pi r^2 (r) \\ & = \color{red}{\pi r^3} : \dfrac23 (\color{red}{\pi r^3}) : \dfrac13 (\color{red}{\pi r^3}) \\ & = 1 : \dfrac23 : \dfrac13 \\ & = 3 : 2 : 1 && (\text{Dikali 3}) \end{aligned}$$Jadi, rasio volume tabung, setengah bola, dan kerucut tersebut adalah $\boxed{3 : 2 : 1}.$

Bola terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam kotak tersebut berdiameter $d = 20~\text{cm}$ sehingga $r = 10~\text{cm}$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} V & = \dfrac43 \pi r^3 \\ & = \dfrac43 \cdot 3,\!14 \cdot (10)^3 \\ & = \dfrac43 \cdot 314 = \dfrac{1.256}{3} \end{aligned}$$Jadi, volume bola terbesar yang dimaksud adalah $\boxed{\dfrac{1.256}{3}~\text{cm}^3}.$