Soal dan Pembahasan – Bangun Ruang (Pra-Olimpiade)

Diketahui $V=2.744{\text{cm}}^3.$ Misalkan $s$ adalah panjang rusuk kubus. Akan dicari nilai dari $L=6s^2$.
$$\begin{array}{rl}V& =2.744\\ s^3& =2.744\\ s& =\sqrt[3]{2.744}=14\\ s^2& ={14}^2=196\\ 6s^2& =6\cdot 196=1.176{\text{cm}}^2\end{array}$$Jadi, luas permukaan kubus tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 1.176{\text{cm}}^2}}.$
(Jawaban C)

Misalkan panjang, lebar, dan tingginya dinyatakan oleh $p,\ell$, dan $t$ sehingga $V=p\ell t.$
Diketahui bahwa $pt=x$, $p\ell =y$, dan $\ell t=z$. Dengan menguadratkan volume, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{V}^2& =(p\ell t{)}^2\\ V^2& =(pt)(p\ell )(\ell t)\\ V^2& =xyz\\ V& =\sqrt{xyz}\end{array}$$Jadi, volume balok tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle \sqrt{xyz}}}.$
(Jawaban E)

Diketahui $p:\ell :t=1:3:5$.
Dapat kita tulis $p=x$, $\ell =3x$, dan $t=5x$ untuk suatu bilangan asli $x$. Karena $L=4.600{\text{cm}}^2$, maka kita peroleh
$$\begin{array}{rl}2(p\ell +pt+\ell t)& =4.600\\ x(3x)+x(5x)+3x(5x)& =2.300\\ 3x^2+5x^2+15x^2& =2.300\\ 23x^2& =2.300\\ x^2& =100\\ \Rightarrow x& =10\end{array}$$Ingat bahwa $x$ adalah bilangan asli sehingga $x\ne -10$.
Jadi, panjang, lebar, dan tinggi balok tersebut berturut-turut adalah $p=10\text{cm}$, $\ell =30\text{cm}$, dan $t=50\text{cm}$.
Selanjutnya, akan dicari volume balok.
$$\begin{array}{rl}V& =p\ell t\\ & =10(30)(50)\\ & =15.000{\text{cm}}^3\end{array}$$Jadi, volume balok tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 15.000{\text{cm}}^3}}.$
(Jawaban D)

Diketahui $r+t=37\text{m}$ dan $L_p=1.628{\text{m}}^2.$
Pertama, akan dicari panjang jari-jari alas tabung.
$$\begin{array}{rl}{L}_p& =1.628\\ 2\pi r(r+t)& =1.628\\ 2\cdot {\displaystyle \frac{22}{7}}\cdot r(37)& =1.628\\ r& ={\displaystyle \frac{1.628\cdot 7}{2\cdot 37\cdot 22}}\\ r& =7\text{m}\end{array}$$Karena $r+t=37\text{m}$ dan $r=7\text{m},$ maka $t=30\text{m}$. Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}V& =\pi r^{2}t\\ & ={\displaystyle \frac{22}{7}}\cdot 7^2\cdot 30\\ & =4.620{\text{m}}^3\end{array}$$Jadi, volume tabung tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 4.620{\text{cm}}^3}}.$
(Jawaban C)

Diketahui $r=80\text{cm}$ dan $t=20\text{cm}.$
Perbandingan (rasio) luas permukaan dan luas selimut tabung dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{L}_p:L_s& =\cancel{2\pi r}(r+t):\cancel{2\pi r}t\\ & =(r+t):t\\ & =(80+20):20\\ & =100:20\\ & =5:1\end{array}$$Jadi, rasio luas permukaan dan luas selimut tabung tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 5:1}}.$
(Jawaban C)

Misalkan tabung pertama memiliki panjang jari-jari, tinggi, dan volume berturut-turut $r,t$, dan $V$, sedangkan tabung kedua memiliki panjang jari-jari, tinggi, dan volume berturut-turut $r^{\prime },t^{\prime }$, dan $V^{\prime }$ sehingga diperoleh hubungan
$$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }& =V\\ t:t^{\prime }=1:2\Rightarrow t^{\prime }& =2t\end{array}$$Karena itu, kita dapatkan
$$\begin{array}{rl}\pi (r^{\prime }{)}^2{t}^{\prime }& =\pi r^{2}t\\ (r^{\prime }{)}^2(2t)& =r^{2}t\\ 2(r^{\prime }{)}^2& =r^2\\ 2& ={\left({\displaystyle \frac{r}{r^{\prime }}}\right)}^2\\ \sqrt{2}& ={\displaystyle \frac{r}{r^{\prime }}}\end{array}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari kedua tabung itu adalah $\boxed{{\displaystyle \sqrt{2}:1}}.$
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{array}{rl}{L}_s:L_p& =1:2\\ L_p& =616{\text{cm}}^2\end{array}$
Dari perbandingan tersebut, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{L}_s& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 616\\ & =308{\text{cm}}^2\end{array}$$Berikutnya, akan dicari panjang jari-jari alas tabung.
$$\begin{array}{rl}{L}_p& =616\\ 2\pi r^2+L_s& =616\\ 2\cdot {\displaystyle \frac{22}{7}}{r}^2+308& =616\\ {\displaystyle \frac{44}{7}}{r}^2& =308\\ r^2& =49\\ r& =7\text{cm}\end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}{L}_s& =308\\ 2\pi rt& =308\\ t& ={\displaystyle \frac{308}{2\pi r}}\text{cm}\end{array}$$Selanjutnya, volume tabung $V$ dihitung sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}V& =\pi r^{2}t\\ & =\pi r^2\cdot {\displaystyle \frac{308}{2\pi r}}\\ & =154r\\ & =154(7)=1.078{\text{cm}}^3\end{array}$$Jadi, volume tabung tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 1.078{\text{cm}}^3}}.$
(Jawaban B)

Anggap $r,t$, dan $V$ berturut-turut adalah panjang jari-jari alas, tinggi, dan volume kerucut sehingga $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}t$. Misalkan $t^{\prime }$ adalah tinggi kerucut setelah dikalikan dua, maka $t^{\prime }=2t$ sehingga volume setelahnya dinyatakan oleh
$$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^3{t}^{\prime }\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^3(2t)\\ & =2\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^3{t}^{\prime }\right)\\ & =2V\end{array}$$Ini menunjukkan bahwa volumenya sama dengan 2 kali volume awal. Dengan kata lain, persentase pertambahan volumenya sebesar $\boxed{{\displaystyle 100\mathrm{\%}}}.$
(Jawaban C)

Anggap $r_1,t_1$, dan $V_1$ berturut-turut adalah panjang jari-jari alas, tinggi, dan volume kerucut pertama sehingga $V_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r_1^2{t}_1$, sedangkan $r_2,t_2$, dan $V_2$ berturut-turut adalah panjang jari-jari alas, tinggi, dan volume kerucut kedua sehingga $V_2={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r_2^2{t}_2$. Dengan demikian, dapat kita tuliskan perbandingan berikut.
$$\begin{array}{rl}{V}_1:V_2& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r_1^2{t}_1:{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r_2^2{t}_2\\ V_1:V_2& =r_1^2{t}_1:r_2^2{t}_2\\ 1:4& =(4{)}^2{t}_1:(5{)}^2{t}_2\\ 1:4& =16t_1:25t_2\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& ={\displaystyle \frac{16t_1}{25t_2}}\\ {\displaystyle \frac{25}{64}}& ={\displaystyle \frac{t_1}{t_2}}\\ 25:64& =t_1:t_2\end{array}$$Jadi, rasio tinggi kedua kerucut tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 25:64}}.$
(Jawaban D)

Diketahui $t_1:t_2=1:4$ dan $r_1:r_2=4:1$. Perbandingan (rasio) kedua kerucut itu dinyatakan oleh $V_1:V_2$, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{V}_1:V_2& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r_1^2{t}_1:{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r_2^2{t}_2\\ & =r_1^2{t}_1:r_2^2{t}_2\\ & =(4{)}^2(1):(1{)}^2(4)\\ & =4:1\end{array}$$Jadi, rasio kedua volume kerucut itu adalah $\boxed{{\displaystyle 4:1}}.$
(Jawaban C)

Diketahui:
$$\begin{array}{rl}{r}_{\text{tabung}}& =3\text{cm}\\ t_{\text{tabung}}& =5\text{cm}\\ r_{\text{kerucut}}& =1\text{mm}=0,1\text{cm}\\ t_{\text{kerucut}}& =1\text{cm}\end{array}$$Banyaknya kerucut yang terbentuk dari hasil peleburan tabung tersebut sama dengan volume tabung dibagi dengan volume kerucut.
$$\begin{array}{rl}n& ={\displaystyle \frac{V_{\text{tabung}}}{V_{\text{kerucut}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\pi r_{\text{tabung}}^2{t}_{\text{tabung}}}{\frac{1}{3}\pi r_{\text{kerucut}}^2{t}_{\text{kerucut}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{3^2\cdot 5}{\frac{1}{3}\cdot 0,1^2\cdot 1}}\\ & ={\displaystyle \frac{45}{\frac{1}{300}}}=45\cdot 300=13.500\end{array}$$Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle n=13.500}}.$
(Jawaban D)

Volume bola terbesar tercapai ketika panjang diameter bolanya sama dengan panjang rusuk kubus sehingga bola tepat bersinggungan dengan seluruh sisi kubus. Jika $s$ dan $r$ berturut-turut adalah panjang rusuk kubus dan panjang jari-jari bola, maka diperoleh hubungan $s=d=2r$. Dengan demikian, perbandingan volumenya dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{V}_{\text{bola}}:V_{\text{kubus}}& ={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3:s^3\\ & ={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3:(2r{)}^3\\ & ={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3:8r^3\\ & ={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi :8\\ & =\pi :6& & (\text{Dikali 3/4})\end{array}$$Jadi, perbandingan volume bola terbesar terhadap volume kubus adalah $\boxed{{\displaystyle \pi :6}}.$
(Jawaban C)

Kubus terbesar itu memiliki panjang diagonal ruang yang sama dengan panjang diameter bola, seperti yang tampak pada gambar.
Karena bolanya berjari-jari $r=5\sqrt{3}\text{cm}$, maka $d=2r=10\sqrt{3}\text{cm}.$
Panjang diagonal ruang kubus yang panjang rusuknya $a$ adalah $DR=a\sqrt{3}\text{cm}$ sehingga
$$\begin{array}{rl}DR& =d\\ a\sqrt{3}& =10\sqrt{3}\\ a& =10\text{cm}\end{array}$$Volume kubus tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle V=a^3=(10{)}^3=1.000{\text{cm}}^3}}.$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar bola, setengah bola, dan seperempat bola berikut.

Luas permukaan bola padat (pejal) utuh adalah $$L_{\oplus }=4\pi r^2.$$Luas permukaan setengah bola padat adalah penjumlahan dari luas kulit ditambah dengan luas lingkaran dalamannya (ditandai dengan warna abu-abu pada gambar), yaitu $$L_{\frac{1}{2}\oplus }=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2.$$Luas permukaan seperempat bola padat adalah penjumlahan dari luas kulit ditambah 2 kali luas setengah lingkaran dalamannya, yaitu $$L_{\frac{1}{4}\oplus }=\pi r^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi r^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi r^2=2\pi r^2.$$Jadi, perbandingan luas permukaan bola padat utuh, setengah bola padat, dan seperempat bola padat itu adalah
$$\begin{array}{rl}{L}_{\oplus }:L_{\frac{1}{2}\oplus }:L_{\frac{1}{4}\oplus }& =4\pi r^2:3\pi r^2:2\pi r^2\\ & =4:3:2.\end{array}$$(Jawaban B)

Mula-mula panjang rusuk kubus adalah $s$, kemudian bertambah menjadi $s^{\prime }=150\mathrm{\%}s$.
Jawaban a)
Mula-mula luas permukaan kubus adalah $L=6s$. Luas permukaan kubus setelah pemanjangan panjang rusuk dinyatakan oleh
$$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }& =6(s^{\prime }{)}^2\\ & =6(150\mathrm{\%}s{)}^2\\ & =225\mathrm{\%}(6s^2)\\ & =225\mathrm{\%}L\end{array}$$Jadi, persentase pertambahan luas permukaan kubus adalah $\boxed{{\displaystyle 125\mathrm{\%}}}.$
Jawaban b)
Mula-mula volume kubus adalah $V=s^3$. Volume setelah pemanjangan panjang rusuk dinyatakan oleh
$$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }& =(s^{\prime }{)}^3\\ & =(150\mathrm{\%}s{)}^3\\ & =337,5\mathrm{\%}{s}^3\end{array}$$Jadi, persentase pertambahan volume kubus adalah $\boxed{{\displaystyle 237,5\mathrm{\%}}}.$

Pada balok berukuran $a\times b\times c$, volume dan luas permukaannya dinyatakan oleh
$$\begin{array}{rl}V& =abc\\ S& =2(ab+ac+bc)\end{array}$$Akan dibuktikan bahwa ${\displaystyle \frac{1}{V}}={\displaystyle \frac{2}{S}}({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})$ dimulai dari ruas kanan.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2}{S}}({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})& ={\displaystyle \frac{2}{2(ab+ac+bc)}}({\displaystyle \frac{bc}{abc}}+{\displaystyle \frac{ac}{abc}}+{\displaystyle \frac{ab}{abc}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\cancel{ab+ac+bc}}}\cdot {\displaystyle \frac{\cancel{ab+ac+bc}}{abc}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{abc}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{V}}\end{array}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{V}}={\displaystyle \frac{2}{S}}({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})}}.$

Jawaban a)
Luas $HKFGI$ sama dengan luas persegi panjang $HFEI$ dikurangi luas seperempat lingkaran $FEG$.
$$\begin{array}{rl}{L}_{HKFGI}& =L_{HFEI}-L_{FEG}\\ & =(HF\cdot FE)-({\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot \pi \cdot E{F}^2)\\ & =(6,5\cdot 1,5)-({\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 3.14\cdot 1,5^2)\\ & =9,75-1,76625\\ & =7,98375{\text{cm}}^2\end{array}$$Jadi, luas $HKFGI$ adalah $\boxed{{\displaystyle 7,98375{\text{cm}}^2}}.$
Jawaban b)
Volume pelat besi sama dengan volume balok $HFDJ.IECA$ dikurangi volume seperempat tabung $FEG.DCB$.
$$\begin{array}{rl}{V}_{\text{pelat besi}}& =V_{HFDJ.IECA}-V_{FEG.DCB}\\ & =(HF\cdot HI\cdot AI)-({\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot \pi \cdot E{F}^2\cdot EC)\\ & =(6,5\cdot 1,5\cdot 8)-({\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 3,14\cdot 1,5^2\cdot 8)\\ & =78-14,13\\ & =63,87{\text{cm}}^3\end{array}$$Jadi, volume pelat besi adalah $\boxed{{\displaystyle 63,87{\text{cm}}^3}}.$
Jawaban c)
Luas selimut $FDBG$ sama dengan luas persegi panjang $FDCE$ ditambah luas persegi panjang $ECBG$.
$$\begin{array}{rl}{L}_{FDBG}& =L_{FDCE}+L_{ECBG}\\ & =(FD\cdot DC)+(GE\cdot EC)\\ & =(8\cdot 1,5)+(1,5\cdot 8)\\ & =12+12=24{\text{cm}}^2\end{array}$$Jadi, luas selimut $FDBG$ adalah $\boxed{{\displaystyle 24{\text{cm}}^2}}.$
Jawaban d)
Karena volume pelat besi adalah $V=63,87{\text{cm}}^3$ dan diketahui bahwa $\rho =9.040{\text{kg/m}}^3=9,04{\text{g/cm}}^3$ maka massa pelat besi dapat kita tentukan sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}\rho & ={\displaystyle \frac{m}{V}}\\ m& =\rho \cdot V\\ & =9,04\cdot 63,87\\ & =577,3848\text{g}\end{array}$$Jadi, massa pelat besi adalah $\boxed{{\displaystyle 577,3848\text{g}}}.$

Jawaban a)
Buat titik $O$, sedemikian sehingga $AO\perp OD$ dan terbentuklah segitiga siku-siku $BOC$ dengan
$$\begin{array}{rl}BO& =AO-AB=120-90=30\text{cm}\\ OC& =OD-CD=220-180=40\text{cm}\end{array}$$Dengan menggunakan rumus Phytagoras, diperoleh
$$\begin{array}{rl}BC& =\sqrt{B{O}^2+O{C}^2}\\ & =\sqrt{{30}^2+{40}^2}\\ & =50\text{cm}\end{array}$$Jadi, paniang $\boxed{{\displaystyle BC=50\text{cm}}}.$
Jawaban b)
Luas segilima $ABCDE$ sama dengan luas persegi panjang $AEDO$ dikurangi luas segitiga siku-siku $BOC$.
$$\begin{array}{rl}{L}_{ABCDE}& =L_{AEDO}-L_{\mathrm{△}BOC}\\ & =(AE\cdot ED)-({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot BO\cdot OC)\\ & =(220\cdot 120)-({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 30\cdot 40)\\ & =26.400-600\\ & =25.800{\text{cm}}^2\end{array}$$Jadi, luas $ABCDE$ adalah $\boxed{{\displaystyle 25.800{\text{cm}}^2}}.$
Jawaban c)
Volume benda tersebut sama dengan volume balok utuh dikurangi volume prisma segitiga siku-siku hasil potongan.
$$\begin{array}{rl}{V}_{\text{benda}}& =V_{\text{balok}}-V_{\text{prisma}}\\ & =(ED\cdot AE\cdot AP)-(L_{\mathrm{△}BOC}\cdot BQ)\\ & =(120\cdot 220\cdot 200)-(600\cdot 200)\\ & =5.160.000{\text{cm}}^3\end{array}$$Jadi, volume tempat pembuangan rokok tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 5.160.000{\text{cm}}^3}}.$

Misalkan $r$ dan $t$ adalah panjang jari-jari dan tinggi tabung mula-mula sehingga $V=\pi r^{2}t$. Misalkan pula $r^{\prime }$ dan $t^{\prime }$ adalah paniang jari-jari dan tinggi tabung setelah mengalami perubahan sehingga
$$\begin{array}{rl}{r}^{\prime }& =150\mathrm{\%}r={\displaystyle \frac{3}{2}}r\\ t^{\prime }& ={\displaystyle \frac{4}{9}}t\end{array}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }& =\pi (r^{\prime }{)}^2{t}^{\prime }\\ & =\pi {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}r\right)}^2\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}t\\ & =\pi \cdot {\displaystyle \frac{9}{4}}{r}^2\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}t\\ & =\pi r^{2}t\\ & =V\end{array}$$Jadi, dapat disimpulkan bahwa volume tabung sekarang sama dengan volume tabung mula-mula (tetap/tidak berubah).

Diketahui keliling alas = volume tabung = $n$ sehingga kita tulis
$$\begin{array}{rlrl}2\pi r& =\pi r^{2}t=n& & (\cdots 1)\\ \Rightarrow 2& =rt& & (\cdots 2)\end{array}$$Dari persamaan $2\pi r=n$, kita peroleh $r={\displaystyle \frac{n}{2\pi }}$. Dari persamaan $(2)$, didapat $t={\displaystyle \frac{2}{r}}=2\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}={\displaystyle \frac{4\pi }{n}}.$
Selanjutnya, kita akan peroleh luas permukaan tabung sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{L}_p& =2\pi r(r+t)\\ & =n({\displaystyle \frac{n}{2\pi }}+{\displaystyle \frac{4\pi }{n}})\\ & ={\displaystyle \frac{n^2}{2\pi }}+4\pi \end{array}$$Jadi, luas permukaaan tabung tersebut bila dinyatakan dalam $n$ adalah $\boxed{{\displaystyle L_p={\displaystyle \frac{n^2}{2\pi }}+4\pi }}.$

Diketahui/dimisalkan bahwa
$$\begin{array}{rl}t& =\text{tinggi kerucut}\\ r& =\text{panjang jari-jari alas kerucut}\\ s^{\prime }& =\text{panjang garis pelukis}\\ s& =\text{luas selimut kerucut}=\pi r{s}^{\prime }\\ v& =\text{volume kerucut}={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}t\end{array}$$Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh $(s^{\prime }{)}^2=r^2+t^2$. Oleh karena itu, kita akan peroleh
$$\begin{array}{rl}3\pi v{t}^3-s^2{t}^2+9v^2& =3\pi \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}t\right)t^3-(\pi r{s}^{\prime }{)}^2{t}^2+9{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}t\right)}^2\\ & ={\pi }^2{r}^2{t}^4-{\pi }^2{r}^2(r^2+t^2)t^2+9\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}{\pi }^2{r}^4{t}^2\\ & ={\pi }^2{r}^2{t}^4-{\pi }^2{r}^4{t}^2-{\pi }^2{r}^2{t}^4+{\pi }^2{r}^4{t}^2\\ & =0\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle 3\pi v{t}^3-s^2{t}^2+9v^2=0}}$

Tampak pada gambar ada $3$ buah kerucut: besar, sedang, dan kecil. Misalkan tinggi kerucut besar, sedang, dan kecil berturut-turut adalah $t_1,t_2$, dan $t_3$ sehingga $t_1=42\text{cm}$, $t_2=28\text{cm}$, dan $t_3=14\text{cm}.$
Selanjutnya, akan dicari panjang jari-jari kerucut sedang dan kecil dengan menggunakan konsep kesebangunan.
Mencari nilai $r_2$:
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}={\displaystyle \frac{t_1}{t_2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{18}{r_2}}& ={\displaystyle \frac{42}{28}}\\ {\displaystyle \frac{18}{r_2}}& ={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ r_2& =12\text{cm}\end{array}$$Mencari nilai $r_3$:
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{r_1}{r_3}}={\displaystyle \frac{t_1}{t_3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{18}{r_3}}& ={\displaystyle \frac{42}{14}}\\ {\displaystyle \frac{18}{r_3}}& =3\\ r_3& =6\text{cm}\end{array}$$Perbandingan volume kerucut besar, sedang, dan kecil dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{V}_{\text{besar}}:V_{\text{sedang}}:V_{\text{kecil}}& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r_1^2{t}_1:{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r_2^2{t}_2:{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r_3^2{t}_3\\ & =r_1^2{t}_1:r_2^2{t}_2:r_3^2{t}_3\\ & =(18{)}^2(42):{\left(12\right)}^2(28):{\left(6\right)}^2(14)\\ & =9(3):4(2):1(1)\\ & =27:8:1\end{array}$$Jawaban b)
Misalkan panjang garis pelukis kerucut besar, sedang, dan kecil berturut-turut adalah $s_1,s_2$, dan $s_3$ sehingga
$$\begin{array}{rl}x& =s_2-s_3\\ & =\sqrt{r_2^2+t_2^2}-\sqrt{r_3^2+t_3^2}\\ & =\sqrt{{12}^2+{28}^2}-\sqrt{6^2+{14}^2}\\ & =4\sqrt{58}-2\sqrt{58}\\ & =2\sqrt{58}\end{array}$$dan
$$\begin{array}{rl}y& =s_1-s_2\\ & =\sqrt{r_1^2+t_1^2}-\sqrt{r_2^2+t_2^2}\\ & =\sqrt{{18}^2+{42}^2}-\sqrt{{12}^2+{28}^2}\\ & =6\sqrt{58}-4\sqrt{58}\\ & =2\sqrt{58}\end{array}$$Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle x=y=2\sqrt{58}}}.$

Dari gambar, tampak bahwa panjang jari-jari alas tabung, alas kerucut, dan setengah bola itu sama, yaitu $r$. Tinggi tabung dan tinggi kerucut juga sama dengan panjang jari-jari bola, yaitu $t=r$.
Kita peroleh
$$\begin{array}{rl}& V_{\text{tabung}}:V_{\text{1/2 bola}}:V_{\text{kerucut}}\\ & =\pi r^{2}t:{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3:{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}t\\ & =\pi r^2(r):{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3:{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^2(r)\\ & =\pi r^3:{\displaystyle \frac{2}{3}}(\pi r^3):{\displaystyle \frac{1}{3}}(\pi r^3)\\ & =1:{\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & =3:2:1& & (\text{Dikali 3})\end{array}$$Jadi, rasio volume tabung, setengah bola, dan kerucut tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 3:2:1}}.$

Bola terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam kotak tersebut berdiameter $d=20\text{cm}$ sehingga $r=10\text{cm}$. Kita peroleh
$$\begin{array}{rl}V& ={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3\\ & ={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot 3,14\cdot (10{)}^3\\ & ={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot 314={\displaystyle \frac{1.256}{3}}\end{array}$$Jadi, volume bola terbesar yang dimaksud adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1.256}{3}}{\text{cm}}^3}}.$